Hallo,

hat jemand einen Hinweis, wie folgende Gleichung nach x umgestellt werden
kann.

3*exp(x/3) = (-1/e)*x

Die Gleichung ist für x = -3 erfüllt.
x ist ein Element der negativen reellen Zahlen.

Gruß Karl

From:	Dieter Heidorn
Subject:	Re: Exponentialfunktion
Date:	Sat, 01 Jan 2005 18:30:13 +0100

Karl Bauer schrieb:

> hat jemand einen Hinweis, wie folgende Gleichung nach x umgestellt werden
> kann.
>
> 3*exp(x/3) = (-1/e)*x
>
> Die Gleichung ist für x = -3 erfüllt.
> x ist ein Element der negativen reellen Zahlen.
>

Eine Auflösung mit "elementaren" Methoden ist nicht möglich. Es kann
aber die Lambert'sche W-Funktion benutzt werden.Diese ist definiert als
Umkehrung von

x*exp(x) = y , also

x = W(y).

Eine Umformung deiner Gleichung führt auf

e = -x / (3*exp(x/3))

-x/3 * exp(-x/3) = 3

Mit der Substitution

u = -x/3

wird daraus

u * exp(u) = e,

also:

u = W(e) = 1

x = -3*u = -3.

Mehr zur Lambert'schen W-Funktion ist z.B. hier zu finden:

http://mathworld.wolfram.com/LambertW-Function.html

MfG
Dieter.

From:	Markus Sons
Subject:	Re: Exponentialfunktion
Date:	Sat, 01 Jan 2005 19:41:17 +0100

Dieter Heidorn wrote:

> Eine Auflösung mit "elementaren" Methoden ist nicht möglich. Es kann
> aber die Lambert'sche W-Funktion benutzt werden.Diese ist definiert als
> Umkehrung von
>
> x*exp(x) = y , also
>
> x = W(y).
>

Hmm, interessant. In der Schule werden wir immer damit abgespeist, sowas
schlicht und einfach nicht algebraisch lösen zu können. Was einem nicht
alles vorenthalten wird...

Gruß
Markus

From:	Hero Wunders
Subject:	Re: Exponentialfunktion
Date:	Sat, 01 Jan 2005 22:06:17 +0100

Hallo!

>> x*exp(x) = y , also
>> x = W(y).
>
> Hmm, interessant. In der Schule werden wir immer damit abgespeist, sowas
> schlicht und einfach nicht algebraisch lösen zu können. Was einem nicht
> alles vorenthalten wird...

Naja..
Man kann im Grunde jede Gleichung nach einer Variablen auflösen, indem
der Lösung einfach einen Namen gibt.
In diesem Fall wurde das so gemacht.

Wenn x*e^(x) = y
dann soll x = W(y) sein.

Man kann halt nun W nicht mehr einfach so endlich hinschreiben (mit ein
paar Wurzeln, einem Logarithmus und vielleicht noch eine(r) Sinus(s) ;-) ).

Es stellt sich lediglich die Frage, was man denn mit dieser neuen
Funktion (oder Relation oder was auch immer) so alles anstellen kann.
AFAIK ist es mit der Umkehrfunktion zum Sinus genau so.
Wir haben sin(x) = a.
x = ???
Wir definieren: x = arcsin(a). Fertig.

Wie man das dann konkret ausrechnet ist wieder eine ganz andere Sache.
Ebenso bei einer Gleichung wie
tan(x) - x = 0
x = ???

Ich definiere:
x = T(n), mit n = 0,1,2,3,...

HTH
herojoker

From:	Markus Sons
Subject:	Re: Exponentialfunktion
Date:	Sat, 01 Jan 2005 23:45:56 +0100

Ja, stimmt, aber man kann halt ganz nett damit weiterrechnen und kommt
in diesem Fall halt leicht auf eine rationale Lösung. Obwohl man das bei
-x/3 * exp(-x/3) = e
ja eigentlich auch schon sieht.

Aber ist das nicht sogar schon bei den Wurzeln nichts anderes?
x^2 = 2
=> x = +-sqrt(2)
Was soll man sich darunter vorstellen?

Gruß
Markus

From:	Peter Niessen
Subject:	Re: Exponentialfunktion
Date:	Sun, 2 Jan 2005 00:16:24 +0100

Am Sat, 01 Jan 2005 23:45:56 +0100 schrieb Markus Sons:

> Ja, stimmt, aber man kann halt ganz nett damit weiterrechnen und kommt
> in diesem Fall halt leicht auf eine rationale Lösung. Obwohl man das bei
> -x/3 * exp(-x/3) = e
> ja eigentlich auch schon sieht.
>
> Aber ist das nicht sogar schon bei den Wurzeln nichts anderes?
> x^2 = 2
> => x = +-sqrt(2)
> Was soll man sich darunter vorstellen?

Das ist alles eher Tradition.
Puristen würden dann als berechenbar nur das zulassen was mit Zirkel und
Lineal zu lösen geht. Aber mit dem Zirkel hat du auch schon
Irrationalzahlen wie sqrt2 am Hals :-))

Mit freundlichen Grüßen
Peter Nießen

--
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-O_O-
=======
~~~~~~~~~~~~~~~~ Cunning Pike On A Raft

From:	Karl Pech
Subject:	Re: Exponentialfunktion
Date:	Sun, 2 Jan 2005 00:08:25 +0100

Hallo Markus,

"Markus Sons" schrieb im Newsbeitrag
news:cr7977$3bc$1@news1.nefonline.de...
> Ja, stimmt, aber man kann halt ganz nett damit weiterrechnen und kommt
> in diesem Fall halt leicht auf eine rationale Lösung. Obwohl man das bei
> -x/3 * exp(-x/3) = e
> ja eigentlich auch schon sieht.
>
> Aber ist das nicht sogar schon bei den Wurzeln nichts anderes?
> x^2 = 2
> => x = +-sqrt(2)
> Was soll man sich darunter vorstellen?

Hmm, da kann man sich vieles drunter vorstellen. Ich denke es kommt auf den
Kontext an! Wenn man sich sqrt(2) als eine Konstante vorstellt, kann man
prima damit rechnen und verliert auch nicht an Genauigkeit! Und wenn man mal
doch konkrete Werte braucht, kann man sich das Ganze auch als eine rekursive
Folge denken, die beliebig genau gegen einen irrationalen Wert konvergiert:

x_{i+1} = x_i/2 + 1/x_i, und als x_0 kannst du z.B. 1,5 nehmen, oder 'was Anderes
(außer 0).

Grüße
Karl

From:	Karl Pech
Subject:	Re: Exponentialfunktion
Date:	Sun, 2 Jan 2005 00:11:57 +0100

> x_{i+1} = x_i/2 + 1/x_i

Ach ja ... Fall du nicht weißt, was ich mit rekursiv meine:

( ( 1.5/2 + 1/(1.5) )/2 + 1/(1.5/2 + 1/(1.5)) )/2 +
1/( ( 1.5/2 + 1/(1.5) )/2 + 1/(1.5/2 + 1/(1.5)) )...)/2 + 1/(..) u.s.w.

Also Zahl nehmen, rechnen. Ergebnis als neue Zahl nehmen, wieder rechnen,
u.s.w. ... .

From:	Markus Sons
Subject:	Re: Exponentialfunktion
Date:	Sun, 02 Jan 2005 16:00:26 +0100

Karl Pech wrote:

> Wenn man sich sqrt(2) als eine Konstante vorstellt, kann man
> prima damit rechnen und verliert auch nicht an Genauigkeit! Und wenn man mal
> doch konkrete Werte braucht, kann man sich das Ganze auch als eine rekursive
> Folge denken, die beliebig genau gegen einen irrationalen Wert konvergiert:

Ja, stimmt darauf läuft's wahrscheinlich hinaus. Sinn macht sowas wohl
wirklich nur, wenn man Rechengesetze findet oder eine solche Konstante
wichtigen Charakter hat. sqrt(2) oder Pi in der Geometrie...

Gruß
Markus

From:	Joachim Mohr
Subject:	Re: Exponentialfunktion
Date:	Mon, 03 Jan 2005 09:35:09 +0100

Markus Sons schrieb:

> Ja, stimmt darauf läuft's wahrscheinlich hinaus. Sinn macht sowas wohl
> wirklich nur, wenn man Rechengesetze findet oder eine solche Konstante
> wichtigen Charakter hat. sqrt(2) oder Pi in der Geometrie...

Die höhere Schulmathematik beschäftigt sich außer mit rationalen
Funktionen noch mit Wachstumsfunktionen (Exponetialfunktion), den
geometrisch erklärbaren Funktionen (sin, cos, tan) und Umkehrfunktionen.

Die Lambertsche W-Funktion ist dann schon auf einer ganz anderen
Stufe definiert. Im meiner FAQ habe ich sie deshalb als exemplarisches
Beispiel einer solchen Funktion erklärt.

http://delphi.zsg-rottenburg.de/faqmath3.html

Das hier erwähnte Beispiel habe ich gleich mit aufgenommen.

MFG Joachim

--
Dr. Joachim Mohr. Richtige e-mail-Adresse auf:
http://www.joachimmohr.de Dort auch Programmen und Lektionen zu
Delphi, Mathematik und Musik (rein, mitteltönig).

From:	Leo Arnold
Subject:	Re: Exponentialfunktion
Date:	Sun, 02 Jan 2005 00:38:14 +0100

Markus Sons schrieb:
> Hmm, interessant. In der Schule werden wir immer damit abgespeist, sowas
> schlicht und einfach nicht algebraisch lösen zu können. Was einem nicht
> alles vorenthalten wird...

Vorenthalten? Das würde ja implizieren, dass der jeweilige Lehrer
je schon mal davon gehört hat, oder?
Ein "kenne keine Methode" wär wohl besser gewesen als "Es gibt keine Methode".
(apropos: lässt es sich denn mit Lambert wirklich _algebraisch_ lösen?)

From:	Markus Sons
Subject:	Re: Exponentialfunktion
Date:	Sat, 01 Jan 2005 16:32:20 +0100

Karl Bauer wrote:
> Hallo,
>
> hat jemand einen Hinweis, wie folgende Gleichung nach x umgestellt werden
> kann.
>
> 3*exp(x/3) = (-1/e)*x

Soweit ich das sehe ist das eine transzendente Gleichung und lässt sich
nicht explizit nach x umformen. Somit lässt sie sich nur numerisch lösen
(oder graphische Lösung o.ä.)

Gruß
Markus