Hallo,
damit man sich über die Ferien nicht langweilt hat unser Mathelehrer
eine nette "Knobelaufgabe" ausgekramt...
Es handelt sich um eine Extremwertaufgabe bei der es darum geht den
optimalen Standort zu finden, bei dem ein Winkel am größten ist.
Das Problem das mich plagt: Ich schaffe es nicht die Haupt- und
Nebenbedingung aufzustellen da ich eine Extremwertaufgabe dieser
Schwierigkeitsstufe noch nie hatte.
Trotzdem interessiert mich die Lösung und deshalb wende ich mich nun
hier an die Newsgroup damit ich endlich (nach Tagen) weiss, welche
Haupt- und Nebenfunktionen man aufstellen muss.
Ich habe kurz auf dem PC eine Skizze erstellt, damit ihr leichter die
Problematik versteht:
http://www.basicmotion.de/sonstiges/sehwinkel.jpg
Es geht darum auf der x-Achse einen Punkt zu finden bei dem der
Sehwinkel am größten ist.
Hierbei geht es um einen möglichst großen VERTIKALEN Durchmesser des
abgebildeten Kreises.

Versteht mich bitte nicht falsch - ich möchte das nicht alles
vorgerechnet bekommen, aber eine Hilfestellung wäre ganz nett damit ich
auf die zwei Funktionen komme.

Ich wünsche euch noch schöne, mathematische Feiertage!
Anton

From:	Michael Hoppe
Subject:	Re: Extremwertaufgabe: Großer Sehwinkel
Date:	Mon, 27 Dec 2004 11:43:27 +0100

Anton wrote:

> http://www.basicmotion.de/sonstiges/sehwinkel.jpg
> Es geht darum auf der x-Achse einen Punkt zu finden bei dem der
> Sehwinkel am größten ist.
> Hierbei geht es um einen möglichst großen VERTIKALEN Durchmesser des
> abgebildeten Kreises.

Das ist eine Mittelstufenaufgabe. Konstruiere denjenigen Kreis, der
durch den oberen und unteren Punkt des kleinen Kreises verläuft und
zugleich die x-Achse als Tangente besitzt. Überlege nun, wieso der
Berührpunkt der Tangente der von Dir gesuchte Punkt ist. Dessen
Koordinaten sind jetzt mittels Pythagoras zu errechnen.

Michael

From:	Anton
Subject:	Re: Extremwertaufgabe: Großer_Sehwinkel
Date:	Mon, 27 Dec 2004 15:46:48 +0100

> Das ist eine Mittelstufenaufgabe. Konstruiere denjenigen Kreis, der
> durch den oberen und unteren Punkt des kleinen Kreises verläuft und
> zugleich die x-Achse als Tangente besitzt. Überlege nun, wieso der
> Berührpunkt der Tangente der von Dir gesuchte Punkt ist. Dessen
> Koordinaten sind jetzt mittels Pythagoras zu errechnen.

Hallo,
freut mich das man mir hier zu helfen versucht!
Ich glaube das was Lukas gesagt hat ist ein guter Ansatz - bin aber noch
verzweifelt damit beschäftigt daraus schlau zu werden wie ich mit den
Informationen umgehe.
Eine Mittelstufenaufgabe ist es leider nicht, da es eine
Extremwertaufgabe ist. Ich bin mir ziemlich dass Michaels Lösung nicht
stimmt. Wenn ich es richtig verstanden habe dann schaut man nach deiner
Lösung in einem Winkel von 45° auf die Mitte des kleinen Kreises.
Das würde bedeuten, dass man den Abstand h von der Mauer aus auf der
x-Achse einnehmen muss.
Das erscheint mir eben zu einfach. Gerne würde ich jetzt schon die
Rechnung als Extremwertaufgabe vorliegen haben um es dir widerlegen zu
können ;-)
Anton

From:	Michael Hoppe
Subject:	Re: Extremwertaufgabe: Großer Sehwinkel
Date:	Mon, 27 Dec 2004 23:02:09 +0100

Anton wrote:

> Ich glaube das was Lukas gesagt hat ist ein guter Ansatz - bin aber noch
> verzweifelt damit beschäftigt daraus schlau zu werden wie ich mit den
> Informationen umgehe.

Lesen.

> Eine Mittelstufenaufgabe ist es leider nicht, da es eine
> Extremwertaufgabe ist.

Und eine solche Behauptung stammt von jemanden, der eine
Extremwertaufgabe aus der Mittelstufe nicht versteht zu lösen? Gewagt.

> Ich bin mir ziemlich dass Michaels Lösung nicht
> stimmt.

Doch. Das ist eine Standardaufgabe aus der Mittelstufe.

> Wenn ich es richtig verstanden habe

Hast Du aber nicht. Nochmal lesen.

> dann schaut man nach deiner
> Lösung in einem Winkel von 45° auf die Mitte des kleinen Kreises.
> Das würde bedeuten, dass man den Abstand h von der Mauer aus auf der
> x-Achse einnehmen muss.
> Das erscheint mir eben zu einfach.

Da falsch. Nach dem von mir genannten Standardansatz dieser
Standardaufgabe erhält man unmittelbar -- sofern x den von Dir genannten
Abstand bezeichnet:

x^2 = h^2 -r^2.

> Gerne würde ich jetzt schon die
> Rechnung als Extremwertaufgabe vorliegen haben um es dir widerlegen zu
> können ;-)

Wird Dir nicht gelingen, Du Naseweis. Zu minimieren ist die Funktion

f(x) = arctan((h+r)/x)-arctan((h-r)/x.

Nun ist

f'(x) = -(h+r)/(x^2(1+(h+r)^2/x^2))+(h-r)/(x^2(1+(h-r)^2/x^2)).

Nach ein wenig Bruchrechnung, die ich Dir gerne selber überlasse, erhält
man als Nullstellen sqrt(h^2-r^2) sowie -sqrt(h^2-r^2). Den Nachweis
des Vorzeichenwechsels bei sqrt(h^2-r^2) überlasse ich Dir auch. Das
ist ebenfalls Standard.

Michael

From:	Wolfgang Thomsen
Subject:	Re: Extremwertaufgabe: Großer_Sehwinkel
Date:	Mon, 27 Dec 2004 23:31:43 +0100

Michael Hoppe wrote:

> Und eine solche Behauptung stammt von jemanden, der eine
> Extremwertaufgabe aus der Mittelstufe nicht versteht zu lösen? Gewagt.
> [..]
> Hast Du aber nicht. Nochmal lesen.
> [..]
> Wird Dir nicht gelingen, Du Naseweis. Zu minimieren ist die Funktion

Immer höflich bleiben, jeder Diplommathematiker hat mal klein angefangen.

Gruß,
Wolfgang

From:	Michael Hoppe
Subject:	Re: Extremwertaufgabe: Großer Sehwinkel
Date:	Tue, 28 Dec 2004 10:39:38 +0100

Wolfgang Thomsen wrote:

> Immer höflich bleiben, jeder Diplommathematiker hat mal klein angefangen.

Meine postings waren in den letzten vierzehn Jahren niemals unhöflich,
in diesem Fall vielleicht nur etwas spitz vorgetragen. Ich habe den
Schnösel lediglich etwas zurechtgestutzt. ;^)

Michael

From:	Klaus-R. Loeffler
Subject:	Re: Extremwertaufgabe: Großer Sehwinkel
Date:	Mon, 27 Dec 2004 16:08:00 +0100

Anton wrote:

> > Das ist eine Mittelstufenaufgabe. Konstruiere denjenigen Kreis, der
> > durch den oberen und unteren Punkt des kleinen Kreises verläuft und
> > zugleich die x-Achse als Tangente besitzt. Überlege nun, wieso der
> > Berührpunkt der Tangente der von Dir gesuchte Punkt ist. Dessen
> > Koordinaten sind jetzt mittels Pythagoras zu errechnen.
>
> Hallo,
> freut mich das man mir hier zu helfen versucht!
> Ich glaube das was Lukas gesagt hat ist ein guter Ansatz - bin aber noch
> verzweifelt damit beschäftigt daraus schlau zu werden wie ich mit den
> Informationen umgehe.
> Eine Mittelstufenaufgabe ist es leider nicht, da es eine
> Extremwertaufgabe ist. Ich bin mir ziemlich dass Michaels Lösung nicht
> stimmt. Wenn ich es richtig verstanden habe dann schaut man nach deiner
> Lösung in einem Winkel von 45° auf die Mitte des kleinen Kreises.
> Das würde bedeuten, dass man den Abstand h von der Mauer aus auf der
> x-Achse einnehmen muss.
> Das erscheint mir eben zu einfach. Gerne würde ich jetzt schon die
> Rechnung als Extremwertaufgabe vorliegen haben um es dir widerlegen zu
> können ;-)
> Anton

Hallo Anton,
offenbar hast du den Rat von Michael noch nicht vollständig befolgt.
Mach dir einfach eine entsprechende Zeichnung und informiere dich noch
einmal über Winkel über Sehnen und wie deren Größe davon abhängt, ob der
der Scheitelpunkt innerhalb oder außerhalb des Kreises oder auf dem
Kreis liegt.
Eine Extremwertaufgabe muss nicht mit Mitteln der Differentialrechnung
gelöst werden; diese sind bei geometrischen Extremwertaufgaben eher die
Ausnahme.

From:	Anton
Subject:	Re: Extremwertaufgabe: Großer_Sehwinkel
Date:	Mon, 27 Dec 2004 20:21:07 +0100

> offenbar hast du den Rat von Michael noch nicht vollständig befolgt.
> Mach dir einfach eine entsprechende Zeichnung und informiere dich noch
> einmal über Winkel über Sehnen und wie deren Größe davon abhängt, ob der
> der Scheitelpunkt innerhalb oder außerhalb des Kreises oder auf dem
> Kreis liegt.

Also die Skizze hab ich doch hoffentlich richtig gemacht:
http://www.basicmotion.de/sonstiges/sehwinkel2.jpg
Der Sehwinkel ist nun von jedem Punkt auf dem Kreis gleich groß und da
der Berührpunkt der Tangente P der einzige Punkt auf dem "Boden" ist,
kann nur dort der Sehwinkel am größten sein. Stimmts?
Klingt ganz logisch, aber so ganz überzeugt hat es mich noch nicht.
Würde gerne noch die Rechnung als Extremwertaufgabe zum Vergleich
durchführen.
Anton

From:	Michael Hoppe
Subject:	Re: Extremwertaufgabe: Großer Sehwinkel
Date:	Mon, 27 Dec 2004 23:02:09 +0100

Anton wrote:

> Also die Skizze hab ich doch hoffentlich richtig gemacht:

Nein. P hat die Koordinaten (sqrt(h^2 - r^2); 0). Nochmal lesen.

Michael

From:	Regina Henschel
Subject:	Re: Extremwertaufgabe: Großer_Sehwinkel
Date:	Mon, 27 Dec 2004 21:37:02 +0100

Hallo Anton,

Anton schrieb:

> Also die Skizze hab ich doch hoffentlich richtig gemacht:
> http://www.basicmotion.de/sonstiges/sehwinkel2.jpg

Ich denke nicht, der Kreis muss durch die Endpunkte der Sehne gehen.

> Der Sehwinkel ist nun von jedem Punkt auf dem Kreis gleich groß und da
> der Berührpunkt der Tangente P der einzige Punkt auf dem "Boden" ist,
> kann nur dort der Sehwinkel am größten sein. Stimmts?
> Klingt ganz logisch, aber so ganz überzeugt hat es mich noch nicht.
> Würde gerne noch die Rechnung als Extremwertaufgabe zum Vergleich
> durchführen.

Wie viel Rechentechnik beherrscht du denn? Arctan? Arccos? (vgl. anderen
Beitrag von mir.)
Du kannst auch über den Mittelpunktswinkel argumentieren und du kannst
die Monotonie der Kosinusfunktion über [0;pi] ausnutzen. Dann hast du
gar keine Nebenbedingung; das gesuchte Extremum ist dann ein Randextremum.

mfG
Regina

From:	Ronald Pfitzer
Subject:	Re: Extremwertaufgabe: Gro=?ISO-8859-1?B?3w==?=er Sehwinkel
Date:	Thu, 30 Dec 2004 12:53:44 +0100

Hallo,

Warum ist das so? Ich komm nicht drauf. Ich habs bis dato nur als
Extremwertaufgabe gelöst.

Ronald

Am 27.12.2004 11:43 Uhr schrieb "Michael Hoppe" unter
in 1gpgarl.1vbxlx3a2nrvyN%mh@michael-hoppe.de:

> Anton wrote:
>
>
>> http://www.basicmotion.de/sonstiges/sehwinkel.jpg
>> Es geht darum auf der x-Achse einen Punkt zu finden bei dem der
>> Sehwinkel am größten ist.
>> Hierbei geht es um einen möglichst großen VERTIKALEN Durchmesser des
>> abgebildeten Kreises.
>
> Das ist eine Mittelstufenaufgabe. Konstruiere denjenigen Kreis, der
> durch den oberen und unteren Punkt des kleinen Kreises verläuft und
> zugleich die x-Achse als Tangente besitzt. Überlege nun, wieso der
> Berührpunkt der Tangente der von Dir gesuchte Punkt ist. Dessen
> Koordinaten sind jetzt mittels Pythagoras zu errechnen.
>
> Michael

From:	Horst Kraemer
Subject:	Re: Extremwertaufgabe: Großer Sehwinkel
Date:	Fri, 31 Dec 2004 11:56:36 +0100

Ronald Pfitzer wrote:

> Hallo,
>
> Warum ist das so? Ich komm nicht drauf. Ich habs bis dato nur als
> Extremwertaufgabe gelöst.

Betrachte eine Stecke von A nach B auf der positiven y-Halbachse mit
Mittelpunkt M und die Mittelsenkrechte dieser Strecke durch M:

y

|
B o
|
|
M o-------------o--------------o-----------
| K C
|
A o
|
|
O o-------------o------------------------------> x
C'

Je weiter der Punkt C von M entfernt ist, desto kleiner ist der
Winkel, unter dem das Segment AB von C aus gesehen erscheint, d.h. der
Winkel faellt streng monoton von pi nach 0 wenn C von M aus in
Richtung wachsender x-Werte wandert. Anderseits erscheint nach THALES
das Segment AB von allen Punkten C' aus, die auf dem Kreisbogen BCA
mit Mittelpunkt K liegen, unter demselben Winkel. Wenn nun C so weit
von M entfernt ist, dass der Kreisbogen BCA die x-Achse tangiert, so
ist dieser Beruehrungspunkt der Punkt mit maximalem Sichtwinkel auf
der x-Achse, denn wenn C von dort aus nach links verschoben wird,
schneidet der Kreisbogen die x-Achse ueberhaupt nicht und wenn C nach
rechts verschoben wird, wird der Sichtwinkel kleiner.

Damit gilt wegen |OC'|=|MK| und |AK|=|KC'|=|OM|

|OC'| = |OM|^2 - |AM|^2

--
Horst

From:	Klaus-R. Loeffler
Subject:	Re: Extremwertaufgabe: Großer Sehwinkel
Date:	Fri, 31 Dec 2004 12:50:47 +0100

Horst Kraemer wrote:

>[...] Anderseits erscheint nach THALES
> das Segment AB von allen Punkten C' aus, die auf dem Kreisbogen BCA
> mit Mittelpunkt K liegen, unter demselben Winkel. [...]

Es mag ja durchaus sein, dass der Peripheriewinkelsatz von Thales (ohne
Geschrei) stammt, so wie der Satz des Pythagoras vermutlich auf Euklid
zurückgeht. Der Vorteil der Satznamen Ceva, Menelaos, Euklid, etc. für
die Mathematik-Gemeinde liegt jedoch wohl weniger in der Würdigung des
vermeintlichen Entdeckers, sondern vor allem in der dann allen
geläufigen Spezifkation der jeweiligen Satzaussage. Und da ist meines
Wissens der Satz des Thales "nur" die Spezialisierung des
Umfangswinkelsatzes auf den Fall des rechten Winkels, also des
Durchmessers als spezieller Sehne.
Nachdem schon einmal in diesem Faden ein 45-Grad-Winkel geargwöhnt
wurde, sollte nun nicht bei Durchblicksuchenden, die dann vielleicht
unter "Thales" suchen, ein rechter Winkel unverschuldet in Verdacht
geraten.

Mit herzlichen Grüßen zum Neuen Jahr und Dank an alle, die hier so
unverdrossen und meistens sogar noch dazu sehr freundlich Auskünfte
geben, um anderen zu helfen

Klaus-R. Löffler

From:	Lukas-Fabian Moser
Subject:	Re: Extremwertaufgabe: Großer Sehwinkel
Date:	Sun, 26 Dec 2004 12:01:48 +0100

Hallo,

On Sun, 26 Dec 2004 11:44:45 +0100, Anton wrote:

>damit man sich über die Ferien nicht langweilt hat unser Mathelehrer
>eine nette "Knobelaufgabe" ausgekramt...
>Es handelt sich um eine Extremwertaufgabe bei der es darum geht den
>optimalen Standort zu finden, bei dem ein Winkel am größten ist.
>Das Problem das mich plagt: Ich schaffe es nicht die Haupt- und
>Nebenbedingung aufzustellen da ich eine Extremwertaufgabe dieser
>Schwierigkeitsstufe noch nie hatte.

Was "Haupt- und Nebenbedingungen" sein sollen, weiß ich zwar nicht,
aber vielleicht kann ich dir trotzdem weiterhelfen: das Grundproblem
ist, aus dem Standort des Beobachters auf der x-Achse den Winkel zu
berechnen, den der Kreis im Auge des Beobachters beschreibt.

Im Prinzip ist das ein rein geometrisches Problem: du hast ein
Dreieck, in dem ein unbekannter Winkel zu bestimmen ist. Da könnte es
eventuell helfen, das Dreieck Auge-oberes Kreisende-unteres Kreisende
als Differenz zweier rechtwinkliger Dreiecke aufzufassen, nämlich
Auge-oberes-Kreisende-Mauerfuß abzüglich
Auge-unteres-Kreisende-Mauerfuß.

Hilft das?

Grüße, Lukas