Hallo Ronald,

"Ronald Pfitzer" schrieb im Newsbeitrag
news:BDF17147.F13%rpfitzer@tiscali.de...
> Hallo,
>
> ich suche verzweifelt den Beweis dafür, dass sqrt(2)^sqrt(2) irrational ist.
> Kann mir jemand helfen.

Reicht es nicht schon zu sagen, daß sqrt(2) irrational ist?

Gruß
Karl

--
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From:	Peter Niessen
Subject:	Re: Wurzel hoch Wurzel
Date:	Fri, 24 Dec 2004 11:54:43 +0100

Am Fri, 24 Dec 2004 10:50:22 +0100 schrieb Karl Pech:

> Hallo Ronald,
>
> "Ronald Pfitzer" schrieb im Newsbeitrag
> news:BDF17147.F13%rpfitzer@tiscali.de...
>> Hallo,
>>
>> ich suche verzweifelt den Beweis dafür, dass sqrt(2)^sqrt(2) irrational ist.
>> Kann mir jemand helfen.
>
>
> Reicht es nicht schon zu sagen, daß sqrt(2) irrational ist?

Nein das muss man auch beweisen. Offensichtlich ist ja nicht jede Potenz
von sqrt(2) irrational.
Aber es gilt der Satz:
Produkte und Potenzen von Irrationalzahlen sind stets wieder irrational.
Vermutlich ist obige Zahl sogar transzendent. Aber das zu Beweisen dürfte
sehr haarig sein. Zu Sätzen über Irrationalzahlen siehe zb.:
O. Perron Irrationalzahlen
Da steht auch der gesuchte Beweiss.
Mit freundlichen Grüßen
Peter Nießen

--
(__(,= ____
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From:	Alex Renelt
Subject:	Re: Wurzel hoch Wurzel
Date:	Fri, 24 Dec 2004 12:29:28 +0100

Peter Niessen wrote:

>>Reicht es nicht schon zu sagen, daß sqrt(2) irrational ist?
>
>
> Nein das muss man auch beweisen. Offensichtlich ist ja nicht jede Potenz
> von sqrt(2) irrational.
korrekt!
> Aber es gilt der Satz:
> Produkte und Potenzen von Irrationalzahlen sind stets wieder irrational.
also
sqrt(2)^sqrt(2)
= e^( ln( sqrt(2) ) * sqrt(2) )
= e^( ln(2) * 0.5 * sqrt(2) )
also folgt nach dem Satz die Behauptung.

mfg Alex Renelt

From:	Peter Niessen
Subject:	Re: Wurzel hoch Wurzel
Date:	Fri, 24 Dec 2004 12:41:08 +0100

Am Fri, 24 Dec 2004 12:29:28 +0100 schrieb Alex Renelt:

> Peter Niessen wrote:
>
>>>Reicht es nicht schon zu sagen, daß sqrt(2) irrational ist?
>>
>>
>> Nein das muss man auch beweisen. Offensichtlich ist ja nicht jede Potenz
>> von sqrt(2) irrational.
> korrekt!
>> Aber es gilt der Satz:
>> Produkte und Potenzen von Irrationalzahlen sind stets wieder irrational.
> also
> sqrt(2)^sqrt(2)
> = e^( ln( sqrt(2) ) * sqrt(2) )
> = e^( ln(2) * 0.5 * sqrt(2) )
> also folgt nach dem Satz die Behauptung.

Die Umformung hättest Du Dir sparen können :-)
Der Satz gilt ja schon für die Ursprungformel.
Aber der Beweiss des Satzes ist nicht sonderlich schwer. Er benutzt nur
einfache Teilbarkeitsregeln in Q und p-adische und
Kettenbruchentwicklungen. Er ist nur recht lang zum mal eben eintippen.

Mit freundlichen Grüßen
Peter Nießen
--
_|\_
><__=_O Cunning Pike SideWays?

From:	Carsten Schultz
Subject:	Re: Wurzel hoch Wurzel
Date:	24 Dec 2004 12:01:16 GMT

Hallo!

Peter Niessen:
> Am Fri, 24 Dec 2004 12:29:28 +0100 schrieb Alex Renelt:
>> Peter Niessen wrote:
>>> Aber es gilt der Satz:
>>> Produkte und Potenzen von Irrationalzahlen sind stets wieder irrational.
> Aber der Beweiss des Satzes ist nicht sonderlich schwer. Er benutzt nur
> einfache Teilbarkeitsregeln in Q und p-adische und
> Kettenbruchentwicklungen. Er ist nur recht lang zum mal eben eintippen.

Ich nehme an, dass hier an irgendeiner Stelle ein Missverständnis
vorliegt, denn ich finde es auch leicht, das Gegenteil des Satzes zu
beweisen.

Proposition. Es gibt irrationale Zahlen a, b, so dass a^b rational
ist.

Beweis.

Wir betrachten die Funktion b -> 2^(1/b). Diese ist zum Beispiel auf
dem Intervall [1,2] injektiv. Da in diesem Intervall überabzählbar
viele irrationale Zahlen liegen, können diese nicht alle auf rationale
Zahlen abgebildet werden. Es gibt also eine irrationale Zahl b, so
dass c:=2^(1/b) auch irrational ist. Für diese ist aber c^b rational,
da gleich 2.

Gruß,

Carsten

--
Carsten Schultz (2:38, 33:47), FB Mathematik, FU Berlin
http://carsten.codimi.de/
PGP/GPG key on the pgp.net key servers,
fingerprint on my home page.

From:	Peter Niessen
Subject:	Re: Wurzel hoch Wurzel
Date:	Fri, 24 Dec 2004 17:45:43 +0100

Am 24 Dec 2004 12:01:16 GMT schrieb Carsten Schultz:

> Wir betrachten die Funktion b -> 2^(1/b). Diese ist zum Beispiel auf
> dem Intervall [1,2] injektiv. Da in diesem Intervall überabzählbar
> viele irrationale Zahlen liegen, können diese nicht alle auf rationale
> Zahlen abgebildet werden. Es gibt also eine irrationale Zahl b, so
> dass c:=2^(1/b) auch irrational ist. Für diese ist aber c^b rational,
> da gleich 2.

Ich gebe mich geschlagen!
Cantor2 schlägt hier erbarmungslos zu.
Kurzes nachlesen ergab auch:
SOOO einfach sind die Sätze doch nicht :-((
Man kommt also nicht um einen konkreten Beweiss herum zu welcher Menge
(sqrt2)^(sqrt2) denn gehört.
Sieht aber nach einem haarigen Problem aus. Mein Tipp:
Das Ding ist transzendent.

Frohe Tage
Mit freundlichen Grüßen
Peter Nießen
--
-- |
-- -O_O- Cunning Pike On Skateboard
-- ==========
O O

From:	Jens Mander
Subject:	Re: Wurzel hoch Wurzel
Date:	Fri, 24 Dec 2004 12:12:43 +0100

Der Beweis gilt vermutlich wie folgt:
sqrt(2)^sqrt(2)= (2^0.5)^2^0.5=2^(0.5*2^0.5)

Ist ein Faktor irrational dann ist das Produkt irrational.
Daraus folgt: Der Exponent ist irrational. Ist ein Exponent irrational, dann
ist die Potenz irrational, also die Behauptung wahr. q.e.d

"Ronald Pfitzer" schrieb im Newsbeitrag
news:BDF17147.F13%rpfitzer@tiscali.de...
> Hallo,
>
> ich suche verzweifelt den Beweis dafür, dass sqrt(2)^sqrt(2) irrational
ist.
> Kann mir jemand helfen.
>
> Gruß Ron
>

From:	Thomas Gabler
Subject:	Re: Wurzel hoch Wurzel
Date:	Fri, 24 Dec 2004 13:13:33 +0100

Jens Mander wrote:

> Ist ein Faktor irrational dann ist das Produkt irrational.

So, sqrt(2) und 1/sqrt(2) sind irrational, damit ist also 1 irrational -
interessant!

Oder sollte das heißen: "Ist *genau* ein Faktor irrational"?

Tom
--
The only problem with troubleshooting is that sometimes the trouble
shoots back
th.gabler@gmx.de
http://www.thomas-gabler.de

From:	Jens Mander
Subject:	Re: Wurzel hoch Wurzel
Date:	Fri, 24 Dec 2004 13:21:48 +0100

>Oder sollte das heißen: "Ist *genau* ein Faktor irrational"?

ja.
Danke.

From:	Helmut Richter
Subject:	Re: Wurzel hoch Wurzel
Date:	25 Dec 2004 11:39:05 GMT

Jens Mander:

> Ist ein Faktor irrational dann ist das Produkt irrational.

Genau ein Faktor muss irrational sein, wie jemand schon bemark.

> Daraus folgt: Der Exponent ist irrational. Ist ein Exponent irrational, dann
> ist die Potenz irrational, also die Behauptung wahr. q.e.d

Nein, denn hier gibt es nicht nirgends genau einen irrationalen Faktor.

Helmut Richter

From:	Peter Niessen
Subject:	Re: Wurzel hoch Wurzel
Date:	Sat, 25 Dec 2004 12:43:20 +0100

Am 25 Dec 2004 11:39:05 GMT schrieb Helmut Richter:

> Jens Mander:
>
>> Ist ein Faktor irrational dann ist das Produkt irrational.
>
> Genau ein Faktor muss irrational sein, wie jemand schon bemark.
>
>> Daraus folgt: Der Exponent ist irrational. Ist ein Exponent irrational, dann
>> ist die Potenz irrational, also die Behauptung wahr. q.e.d
>
> Nein, denn hier gibt es nicht nirgends genau einen irrationalen Faktor.

Yep!
Und ich habe ja schon eingesehen das ich Murx geschrieben habe. Der Beweiss
über die Überabzählbarkeit von R ist schlagend.

Mit freundlichen Grüßen
Peter Nießen

--
,,,,,, ()__()
, o|o, "Ob als Igel oder Hase, |o|o |
X| _._|X das Brot kriegt's auf X|_v_ |X
|__|_| die Nase!" MIST |_|__|

From:	Peter Niessen
Subject:	Re: Wurzel hoch Wurzel
Date:	Fri, 24 Dec 2004 12:44:31 +0100

Am Fri, 24 Dec 2004 12:12:43 +0100 schrieb Jens Mander:

> Der Beweis gilt vermutlich wie folgt:
> sqrt(2)^sqrt(2)= (2^0.5)^2^0.5=2^(0.5*2^0.5)
>
> Ist ein Faktor irrational dann ist das Produkt irrational.
> Daraus folgt: Der Exponent ist irrational. Ist ein Exponent irrational, dann
> ist die Potenz irrational, also die Behauptung wahr. q.e.d

Ein Beweiss ist das aber nicht!
Du unterstellst hier unbewiesen einen Satz.

Mit freundlichen Grüßen
Peter Nießen
--
|
-O_O-
-O O-
| Twin Pikes

From:	Jens Mander
Subject:	Re: Wurzel hoch Wurzel
Date:	Fri, 24 Dec 2004 13:13:08 +0100

>Ein Beweiss ist das aber nicht!
>Du unterstellst hier unbewiesen einen Satz.

Das ist ja nur eine Behauptung. Wo ist der Beweis? ;-)
Ne in meinen Augen ist das ein Beweis. Ich gehe einfach davon aus, dass die
o. g. Potenz und Produktregeln gelten, also vorausgesetzt sind. Trotzdem
danke für den Hinweis.

From:	Helmut Richter
Subject:	Re: Wurzel hoch Wurzel
Date:	25 Dec 2004 11:25:45 GMT

Peter Niessen:

> Ein Beweiss ist das aber nicht!
> Du unterstellst hier unbewiesen einen Satz.

Noch dazu einen offensichtlich falschen.

Rationale Zahlen haben Abschlusseigenschaften (bezüglich Summe, Produkt,
Quotient), aber irrationale haben *genau deshalb* keine keine:

Weil bei y=r*x für rationales r und irrationales x das y irrational ist,
deswegen gibt es irrationale x, y, deren Quotient rational ist, nämlich
eben jene x und y vom Anfang dieses Abschnitts. Dito für alle anderen
Operationen: immer lassen sich irrationale Zahlen zu rationalen
verknüpfen.

Ziemlich das einzige, was in die richtige Richtung geht, ist der Satz von
Gelfond-Schneider: Für a ungleich 0 und 1 und b irrational ist mindestens
eine der Zahlen a, b und a^b transzendent. (Gilt auch im Komplexen; dann
ist die eigentlich gemeinte Festlegung log a ungleich 0 nicht mehr
dasselbe wie a ungleich 1). Hier wären a und b beide irrational, aber
keine von ihnen transzendent, mithin a^b transzendent und damit
insbesondere irrational. Aber einfach ist das alles nicht.

Helmut Richter