Hallo Matheprofis und solche die es werden wollen,

hier ein Beispiel aus der Praxis:
0 5 10 15 20 25 30
Blech 1 5,1 134,6 255,6 431,2 506,3 606,7 677,1
Blech 2 4,5 125,5 225,8 366,5 473,3 547,6 609,6
Æ 4,8 130,05 240,7 398,85 489,8 577,15 643,35

Ich hoffe ihr könnt alle die Tabelle sehen (muss leider OE benutzen -
Arbeitscomputer mit "Standardsoftwareadministration").
Dabei handelt es sich um Werte die bei einem Versuch ermittelt wurden um den
Massenabtrag eines Bleches bei verschiedenen Konzentrationen eines Salzes zu
bestimmen.
- Die erste Zeile gibt die Konzentration des Salzes in g/l wieder
- Die zweite und dritte Zeile sind die aus Differenzwägung gefundene
Massenabträge der beiden Versuchsbleche bei den dazugehörigen
Konzentrationen des Salzes.
- Die vierte Zeile ist der Durchschnitt der beiden Bleche.

Wie kann man nun aus den gefundenen Werten eine Funktion konstruieren damit
ich später nur den Massenabtrag eingeben muss und mir die entsprechende
Konzentration an dem Salz ausgegeben wird? Es würde schon eine Annäherung
genügen.

Wenn ich es linear probiere, über die Ermittlung des Steigungsdreiecks,
bekomme ich von Punkt zu Punkt eine geringer werdenden Steigung.
Ich hoffe ihr könnt mir helfen

mit freundlichen Grüßen
M. Meschik

From:	Thomas Plehn
Subject:	Re: Kurvenberechnung?
Date:	Sat, 9 Oct 2004 23:44:40 +0200

"Michael Meschik" schrieb im Newsbeitrag
news:2sf2j1F1hhl4uU1@uni-berlin.de...
> Wie kann man nun aus den gefundenen Werten eine Funktion konstruieren
> damit
> ich später nur den Massenabtrag eingeben muss und mir die entsprechende
> Konzentration an dem Salz ausgegeben wird? Es würde schon eine Annäherung
> genügen.

Eine Lösung mittels linearer Regression wurde ja unten schon erwähnt. Um
zusätzlich noch die leichte Krümmung zu berücksichtigen, poste ich hier
einen quadradischen Term, der deine Messreihe vielleicht etwas genauer
wiedergibt:

2,46868E-5*x^2 + 0,0289391*x + 0,4222556

From:	Thomas Plehn
Subject:	Re: Kurvenberechnung?
Date:	Sun, 10 Oct 2004 19:04:11 +0200

"Michael Meschik" schrieb im Newsbeitrag
news:2sf2j1F1hhl4uU1@uni-berlin.de...

> Wie kann man nun aus den gefundenen Werten eine Funktion konstruieren
> damit
> ich später nur den Massenabtrag eingeben muss und mir die entsprechende
> Konzentration an dem Salz ausgegeben wird? Es würde schon eine Annäherung
> genügen.

Folgender Term ist eine sehr gute Annäherung an Deine Datenreihe. Falls
Deine Daten nur minimale Fehler aufweisen, ließe sich nach diesem Gesetz
jeder Zwischenwert berechnen.

f(x) = a_3*x^3 + a_2*x^2 + a_1*x + a_0

mit

a_0 = -0,339987521
a_1 = 0,051368041
a_2 = -6,72546E-05
a_3 = 9,43429E-08

From:	Peter Niessen
Subject:	Re: Kurvenberechnung?
Date:	Sun, 10 Oct 2004 19:27:44 +0200

Am Sun, 10 Oct 2004 19:04:11 +0200 schrieb Thomas Plehn:

> "Michael Meschik" schrieb im Newsbeitrag
> news:2sf2j1F1hhl4uU1@uni-berlin.de...
>
>> Wie kann man nun aus den gefundenen Werten eine Funktion konstruieren
>> damit
>> ich später nur den Massenabtrag eingeben muss und mir die entsprechende
>> Konzentration an dem Salz ausgegeben wird? Es würde schon eine Annäherung
>> genügen.
>
> Folgender Term ist eine sehr gute Annäherung an Deine Datenreihe. Falls
> Deine Daten nur minimale Fehler aufweisen, ließe sich nach diesem Gesetz
> jeder Zwischenwert berechnen.
>
> f(x) = a_3*x^3 + a_2*x^2 + a_1*x + a_0
>
> mit
>
> a_0 = -0,339987521
> a_1 = 0,051368041
> a_2 = -6,72546E-05
> a_3 = 9,43429E-08

Wie hast Du das gemacht?
Per Regression?
Und viel wichtiger:
Womit?
Ich bekomme nämlich gerade das Problem sowas auch rechnen zu müssen.

Mit freundlichen Grüßen
Peter Nießen

From:	Thomas Plehn
Subject:	Re: Kurvenberechnung?
Date:	Sun, 10 Oct 2004 19:49:59 +0200

"Peter Niessen" schrieb im Newsbeitrag
news:12v059tv306v$.rzzml5586asb$.dlg@40tude.net...

> Wie hast Du das gemacht?
> Per Regression?
> Und viel wichtiger:
> Womit?
> Ich bekomme nämlich gerade das Problem sowas auch rechnen zu müssen.

Ich habe mir vor einiger Zeit selbst eine Excel-Arbeitsmappe
zusammengestellt, die eine Regression dritten Grades durchführen kann. Eine
Erweiterung auf höhere Grade ist nach dem gleichen Schema problemlos
möglich. Ich selbt benötige solche Berechnungen für mein Physik-Praktikum.
Die in der Excel-Tabelle verwendete Formel ist bei Mathworld zu finden:
http://mathworld.wolfram.com/LeastSquaresFittingPolynomial.html
Ich gebe meine Excel-Arbeitsmappe an jeden weiter, der sie gebrauchen kann.
Ich schicke sie per eMail zu. Allerdings wird eine neuere Version von Excel
benötigt, da Visual-Basic-Code eingebunden ist.

From:	Peter Niessen
Subject:	Re: Kurvenberechnung?
Date:	Mon, 11 Oct 2004 00:26:00 +0200

Am Sun, 10 Oct 2004 19:49:59 +0200 schrieb Thomas Plehn:

> "Peter Niessen" schrieb im Newsbeitrag
> news:12v059tv306v$.rzzml5586asb$.dlg@40tude.net...
>
>> Wie hast Du das gemacht?
>> Per Regression?
>> Und viel wichtiger:
>> Womit?
>> Ich bekomme nämlich gerade das Problem sowas auch rechnen zu müssen.
>
> Ich habe mir vor einiger Zeit selbst eine Excel-Arbeitsmappe
> zusammengestellt, die eine Regression dritten Grades durchführen kann. Eine
> Erweiterung auf höhere Grade ist nach dem gleichen Schema problemlos
> möglich. Ich selbt benötige solche Berechnungen für mein Physik-Praktikum.
> Die in der Excel-Tabelle verwendete Formel ist bei Mathworld zu finden:
> http://mathworld.wolfram.com/LeastSquaresFittingPolynomial.html
> Ich gebe meine Excel-Arbeitsmappe an jeden weiter, der sie gebrauchen kann.
> Ich schicke sie per eMail zu. Allerdings wird eine neuere Version von Excel
> benötigt, da Visual-Basic-Code eingebunden ist.

Ja fände ich interessant den Exel-Code zu haben. Das Verfahren ist ja nicht
neu nur fieslich rechenintensiv. Ich habe da mal ein anderes Verfahren
"erfunden" und das wurde von den Gurus in de.sci.mathematik als machbar bis
Gut betrachtet. Aber da war die Fragestellung ein wenig anders:
Finde ein Polynom möglichst geringen Grades das eine gegebene Polygonkurve
so gut wie möglich beschreibt. Das läuft dann über Integrale. Auf Wunsch
erläutere ich das gerne. Der praktische Hintergrund war der Versuch grosse
CAD-Datensätze zu verringern.

Mit freundlichen Grüßen
Peter Nießen

From:	Manuel_Hölß
Subject:	Re: Kurvenberechnung?
Date:	Wed, 13 Oct 2004 01:08:27 +0200

Peter Niessen wrote:
> Am Sun, 10 Oct 2004 19:49:59 +0200 schrieb Thomas Plehn:
>
>
>>"Peter Niessen" schrieb im Newsbeitrag
>>news:12v059tv306v$.rzzml5586asb$.dlg@40tude.net...
>>
>>
>>>Wie hast Du das gemacht?
>>>Per Regression?
>>>Und viel wichtiger:
>>>Womit?
>>>Ich bekomme nämlich gerade das Problem sowas auch rechnen zu müssen.
>>
>>Ich habe mir vor einiger Zeit selbst eine Excel-Arbeitsmappe
>>zusammengestellt, die eine Regression dritten Grades durchführen kann. Eine
>>Erweiterung auf höhere Grade ist nach dem gleichen Schema problemlos
>>möglich. Ich selbt benötige solche Berechnungen für mein Physik-Praktikum.
>>Die in der Excel-Tabelle verwendete Formel ist bei Mathworld zu finden:
>>http://mathworld.wolfram.com/LeastSquaresFittingPolynomial.html
>>Ich gebe meine Excel-Arbeitsmappe an jeden weiter, der sie gebrauchen kann.
>>Ich schicke sie per eMail zu. Allerdings wird eine neuere Version von Excel
>>benötigt, da Visual-Basic-Code eingebunden ist.
>
>
> Ja fände ich interessant den Exel-Code zu haben. Das Verfahren ist ja nicht
> neu nur fieslich rechenintensiv. Ich habe da mal ein anderes Verfahren
> "erfunden" und das wurde von den Gurus in de.sci.mathematik als machbar bis
> Gut betrachtet. Aber da war die Fragestellung ein wenig anders:
> Finde ein Polynom möglichst geringen Grades das eine gegebene Polygonkurve
> so gut wie möglich beschreibt. Das läuft dann über Integrale. Auf Wunsch
> erläutere ich das gerne. Der praktische Hintergrund war der Versuch grosse
> CAD-Datensätze zu verringern.
>
Eine geläufige Methode für sowas ist der sog. least square fit. Man
setzt eine Funktion mit Parametern (weniger als die Anzahl der
Datenpunkte) an und berechnet die Summe der Quadrate der Abweichungen zu
dem Messwerten. Diese Summe minimiert man im Parameterraum. Wenn Du eine
Funktion approximieren willst, wird anstelle der Summe das Integral über
das Quadrat der Differenz genommen. In dem Fall der Polygonkurve, die
durch ein Polynom approximiert werden soll, sollte das Integral
quadratisch von den Parametern (hier die Koeffizienten des Polynoms)
abhängen, ein Minimum müßte also leicht zu finden sein.

Grüße.

Grüße.

From:	Karl
Subject:	Re: Kurvenberechnung?
Date:	Wed, 06 Oct 2004 07:07:41 +0200

Hi,
ich glaube, das beste w=E4re, Du schaust Dir mal die m=F6glichen=20
Funktionstypen an, die man anpassen kann. Dazu kenne ich zwei Stellen,=20
wo Du eine =DCbersicht finden kannst:
1) Im gaaanz alten Taschenbuch der Mathematik: Bronstein-Semendjajew ist =

auf den Seiten 521-527 ein Abschnitt =FCber das Aufstellen empirischer=20
Formeln. (Wurde leider in den neueren Auflagen weggelassen, meine alte=20
ist von 1973).
2) Im Online-Handbuch statistischer Methoden vom NIST ist z.B. hier auch =

eine Sammlung von Funktionen, die man verwenden kann.

http://www.itl.nist.gov/div898/handbook/pmd/section8/pmd81.htm

Dann vergleich die Funktionen mit Deinen Daten und fitte die, die am=20
besten pa=DFt.
Gru=DF
Karl

From:	Karl
Subject:	Re: Kurvenberechnung?
Date:	Wed, 06 Oct 2004 07:27:45 +0200

Korrektur zu meiner Mail.
Das Kapitel =FCber die Aufstellung empirischer Formeln gibt es auch in=20
neueren Auflagen des Bronstein. Ist jetzt im Kapitel =FCber Funktionen,=20
siehe diesen Link (Inhaltangabe):

http://www.harri-deutsch.de/verlag/titel/bronstei/i02_2015.htm

Ciao
Karl

From:	Michael Meschik
Subject:	Re: Kurvenberechnung?
Date:	Tue, 5 Oct 2004 10:36:12 +0200

Nachtrag
> 0 5 10 15 20 25 30
> Blech 1 5,1 134,6 255,6 431,2 506,3 606,7 677,1
> Blech 2 4,5 125,5 225,8 366,5 473,3 547,6 609,6
> Æ 4,8 130,05 240,7 398,85 489,8 577,15 643,35

Konzentration 0 5 10 15 20
25 30
Blech 1 5,1 134,6 255,6 431,2 506,3
606,7 677,1
Blech 2 4,5 125,5 225,8 366,5 473,3
547,6 609,6
Mittelwert 4,8 130,05 204,7 398,85 489,8
577,15 643,35

Hoffe jetzt besser lesbar

--
Gruß
M. Meschik

From:	Peter Niessen
Subject:	Re: Kurvenberechnung?
Date:	Tue, 5 Oct 2004 10:31:54 +0200

Am Tue, 5 Oct 2004 09:59:28 +0200 schrieb Michael Meschik:

> Hallo Matheprofis und solche die es werden wollen,
>
> hier ein Beispiel aus der Praxis:
> 0 5 10 15 20 25 30
> Blech 1 5,1 134,6 255,6 431,2 506,3 606,7 677,1
> Blech 2 4,5 125,5 225,8 366,5 473,3 547,6 609,6
> Æ 4,8 130,05 240,7 398,85 489,8 577,15 643,35
>
>
> Ich hoffe ihr könnt alle die Tabelle sehen (muss leider OE benutzen -
> Arbeitscomputer mit "Standardsoftwareadministration").
> Dabei handelt es sich um Werte die bei einem Versuch ermittelt wurden um den
> Massenabtrag eines Bleches bei verschiedenen Konzentrationen eines Salzes zu
> bestimmen.
> - Die erste Zeile gibt die Konzentration des Salzes in g/l wieder
> - Die zweite und dritte Zeile sind die aus Differenzwägung gefundene
> Massenabträge der beiden Versuchsbleche bei den dazugehörigen
> Konzentrationen des Salzes.
> - Die vierte Zeile ist der Durchschnitt der beiden Bleche.
>
> Wie kann man nun aus den gefundenen Werten eine Funktion konstruieren damit
> ich später nur den Massenabtrag eingeben muss und mir die entsprechende
> Konzentration an dem Salz ausgegeben wird? Es würde schon eine Annäherung
> genügen.
>
> Wenn ich es linear probiere, über die Ermittlung des Steigungsdreiecks,
> bekomme ich von Punkt zu Punkt eine geringer werdenden Steigung.
> Ich hoffe ihr könnt mir helfen

Eine Funktion beliebigen Grades durch die Messpunkte zu legen geht immer.
Funktioniert wie eine Ausgleichsgerade Rechnen, es ist nur mehr Arbeit.
Tabellenkalkulationen sollten eine solche nichtlineare Regression
beherrschen. Aber Vorsicht! Je höher der Grad um so numerisch instabiler
wird ein solches Polynom.
Wirlich sinnvoll ist es zu überlegen ob es ein Naturgesetz geben könnte was
hinter den Daten steckt. Also Funktion ausdenken und gegen die Werte
Testen.

Mit freundlichen Grüßen
Peter Nießen

From:	Michael Meschik
Subject:	Re: Kurvenberechnung?
Date:	Tue, 5 Oct 2004 17:23:56 +0200

Hallo Peter Niessen,

"Peter Niessen" schrieb im Newsbeitrag
news:1btzuthkhoaq2$.2umowq2rzb1n$.dlg@40tude.net...
>
> Eine Funktion beliebigen Grades durch die Messpunkte zu legen geht immer.
> Funktioniert wie eine Ausgleichsgerade Rechnen, es ist nur mehr Arbeit.
> Tabellenkalkulationen sollten eine solche nichtlineare Regression
> beherrschen. Aber Vorsicht! Je höher der Grad um so numerisch instabiler
> wird ein solches Polynom.
> Wirlich sinnvoll ist es zu überlegen ob es ein Naturgesetz geben könnte
was
> hinter den Daten steckt. Also Funktion ausdenken und gegen die Werte
> Testen.

Das das Excel kann hat mir schon sehr weiter geholfen, aber wie macht man
das zu Fuß? Hab auch das mit den verschiedenen Graden ausprobiert und weis
jetzt was du mit numerisch instabiler meinst :-)

Was das Naturgesetz betrifft kann ich nur sagen das es sehr viele
Unabwägbarkeiten in der Chemie gibt (Nebenreaktionen, interionische
Wechselwirkungen ...) das es schwierig ist da eine Gesetzmäßigkeit
herauszufinden. Die Werte wurden rein empirisch im Laborversuch ermittelt
und stellen trotzdem nur eine Annäherung an die Produktionsbedingungen dar.
Leider wichen die Angaben über den Abtrag des Herstellers so sehr ab (war
eine Gerade) das ich eben selber Untersuchen musste wie sich das ganze
verhält.

Danke für die Hilfe

Gruß
Michael Meschik

From:	Peter Niessen
Subject:	Re: Kurvenberechnung?
Date:	Tue, 5 Oct 2004 18:19:11 +0200

Am Tue, 5 Oct 2004 17:23:56 +0200 schrieb Michael Meschik:

> Hallo Peter Niessen,
>
> "Peter Niessen" schrieb im Newsbeitrag
> news:1btzuthkhoaq2$.2umowq2rzb1n$.dlg@40tude.net...
>>
>> Eine Funktion beliebigen Grades durch die Messpunkte zu legen geht immer.
>> Funktioniert wie eine Ausgleichsgerade Rechnen, es ist nur mehr Arbeit.
>> Tabellenkalkulationen sollten eine solche nichtlineare Regression
>> beherrschen. Aber Vorsicht! Je höher der Grad um so numerisch instabiler
>> wird ein solches Polynom.
>> Wirlich sinnvoll ist es zu überlegen ob es ein Naturgesetz geben könnte
> was
>> hinter den Daten steckt. Also Funktion ausdenken und gegen die Werte
>> Testen.
>
> Das das Excel kann hat mir schon sehr weiter geholfen, aber wie macht man
> das zu Fuß? Hab auch das mit den verschiedenen Graden ausprobiert und weis
> jetzt was du mit numerisch instabiler meinst :-)

Die Idee ist die gleiche wie bei einer Regressionsgeraden.
Gerade:
zwei aufeinderfolgende Punkte bilden eine Gerade berechne nun alle Geraden
und bilde davon den Mittelwert. Das ist schon alles. wenn die Punkte nicht
Abstandsgleich sind, musst Du die einzelnen Geraden natürlich Gewichten.
Also Kurve n-ten Grades:
n+1 Punkte bilden die Kurve davon wieder das Mittel berechnen fertig. Das
steht in einem klugen Buch auch als Formel damit man noch Rechenarbeit
spart. Es geht natürlich noch besser über das fitten mit einem Integral,
das ergibt Funktionen mit möglichst geringem Grad. Aber ab ca Grad 5 musst
Du wohl meistens das Ding in Stücke zerlegen und einen Spline-fit machen.
Wie empfindlich ein Polynom auf Fehler reagiert kannst du durch
ausprobieren Testen. Man erkennt das aber auch daran ob sich die
Koeffizienten nur wenig unterscheiden.

Mit freundlichen Grüßen
Peter Nießen