Hallo,

ich überlege gerade, wieso die Setzung Null hoch Null = 1 sinnvoll bzw.
inwieweit sie verträglich ist.

Letztes ist sie, wenn man a^0=1 für beliebige Basen a erklären will;
unverträglich ist sie aber mit der Exponentialdarstellung, nach der für jede
Potenz

a^b=exp(b ln a)

gilt.

Wie sollte man damit im Schulunterricht umgehen?

Gruß D. Schneider

From:	Oliver Weinberg
Subject:	Re: Null hoch Null...
Date:	Wed, 22 Sep 2004 14:19:58 +0200

> Letztes ist sie, wenn man a^0=1 für beliebige Basen a erklären will;

So weit ok.

> unverträglich ist sie aber mit der Exponentialdarstellung, nach der für
> jede
> Potenz
>
> a^b=exp(b ln a)
>
> gilt.

Rechne es aus:
a = 0 -> ln a = 1
b = 0 -> b ln a = 0 * 1 = 0
exp (b ln a) = exp(0) = 1

.... was bitte ist hier unverträglich?

:-Olli

-------------------------------------------------------------
Oliver Weinberg
-------------------------------------------------------------

From:	Gerd Thieme
Subject:	Re: Null hoch Null...
Date:	Wed, 22 Sep 2004 15:15:49 +0200

Oliver Weinberg wrote:

> Rechne es aus:
> a = 0 -> ln a = 1

Es ist ln 1 = 0, aber nicht umgekehrt.

Gerd

From:	Juergen Ilse
Subject:	Re: Null hoch Null...
Date:	22 Sep 2004 14:07:11 GMT

Hallo,

Oliver Weinberg wrote:
>> unvertr?glich ist sie aber mit der Exponentialdarstellung, nach der f?r
>> jede
>> Potenz
>>
>> a^b=exp(b ln a)
>>
>> gilt.

> Rechne es aus:
> a = 0 -> ln a = 1

Wenn ich jetzt nicht voellig irritiert bin, hat der Logarithmus an der
Stelle 0 eine Polstelle, oder taeusche ich mich da? Also ist ln 0 nicht
0 sondern nicht definiert ...
a = ln 0 muesste ja die Zahl sein, fuer die e^a den Wert 0 ergibt,
allerdings ist e^x fuer *alle* x groesser als 0 (auch wenn die e-Funktion
streng monoton steigend und der Grenzwert fuer x --> minus unendlich o ist).

> b = 0 -> b ln a = 0 * 1 = 0
> exp (b ln a) = exp(0) = 1

> ... was bitte ist hier unvertr?glich?

Da ln a nicht definiert ist (und ln a fuer a --> 0 gegen minus unendlich
strebt), hat man da auf jeden Fall einen undefinierten Ausdruck im Expo-
nenten stehen, und als "0 * minus unednlich" ist da auch nicht sofort
ersichtlich, als welchen Wert man das sinnvollerweise interpretieren
koennte ... 0 ist kein Teil des Wertebereichs einer Logarithmus-Funktion,
unabhaengig von der Basis.

Tschuess,
Juergen Ilse (juergen@usenet-verwaltung.de)
--
Merke: Die N. ist eine FAQ zur Frage: "Warum nennen mich alle PLONK?"

Oliver Gassner in dsnu ueber die Netiquette.

From:	Oliver Weinberg
Subject:	Re: Null hoch Null...
Date:	Thu, 23 Sep 2004 07:28:36 +0200

Oh Gott, Ihr habt ja recht...!

:-Olli

"Juergen Ilse" schrieb im Newsbeitrag
news:4151870f$0$416$ccdbfa22@news.usenet-verwaltung.de...
> Hallo,
>
> Oliver Weinberg wrote:
>>> unvertr?glich ist sie aber mit der Exponentialdarstellung, nach der f?r
>>> jede
>>> Potenz
>>>
>>> a^b=exp(b ln a)
>>>
>>> gilt.
>
>> Rechne es aus:
>> a = 0 -> ln a = 1
>
> Wenn ich jetzt nicht voellig irritiert bin, hat der Logarithmus an der
> Stelle 0 eine Polstelle, oder taeusche ich mich da? Also ist ln 0 nicht
> 0 sondern nicht definiert ...
> a = ln 0 muesste ja die Zahl sein, fuer die e^a den Wert 0 ergibt,
> allerdings ist e^x fuer *alle* x groesser als 0 (auch wenn die e-Funktion
> streng monoton steigend und der Grenzwert fuer x --> minus unendlich o
> ist).
>
>> b = 0 -> b ln a = 0 * 1 = 0
>> exp (b ln a) = exp(0) = 1
>
>> ... was bitte ist hier unvertr?glich?
>
> Da ln a nicht definiert ist (und ln a fuer a --> 0 gegen minus unendlich
> strebt), hat man da auf jeden Fall einen undefinierten Ausdruck im Expo-
> nenten stehen, und als "0 * minus unednlich" ist da auch nicht sofort
> ersichtlich, als welchen Wert man das sinnvollerweise interpretieren
> koennte ... 0 ist kein Teil des Wertebereichs einer Logarithmus-Funktion,
> unabhaengig von der Basis.
>
> Tschuess,
> Juergen Ilse (juergen@usenet-verwaltung.de)
> --
> Merke: Die N. ist eine FAQ zur Frage: "Warum nennen mich alle PLONK?"
>
> Oliver Gassner in dsnu ueber die Netiquette.

From:	Juergen Ilse
Subject:	Re: Null hoch Null...
Date:	21 Sep 2004 10:41:55 GMT

Hallo,

Dietmar Schneider wrote:
> ich überlege gerade, wieso die Setzung Null hoch Null = 1 sinnvoll bzw.
> inwieweit sie verträglich ist.
> Letztes ist sie, wenn man a^0=1 für beliebige Basen a erklären will;
> unverträglich ist sie aber mit der Exponentialdarstellung, nach der für jede
> Potenz

> a^b=exp(b ln a)

> gilt.

Gilt nur fuer den Definitionsbereich der jeweiligen Funktionen.
Da aber 0 ausserhalb des Definitionsbereichs von ln liegt, kannst
du diese Umformung fuer a=0 natuerlich *nicht* vornehmen (und das
solltest du deinen Schuelern auch erklaeren, damit sie bei Umfor-
mungen darauf achten, fuer welche Werte eine solche Umformung
ueberhaupt sinnvoll moeglich ist).

> Wie sollte man damit im Schulunterricht umgehen?

Siehe oben.

Tschuess,
Juergen Ilse (juergen@usenet-verwaltung.de)
--
Merke: Die N. ist eine FAQ zur Frage: "Warum nennen mich alle PLONK?"

Oliver Gassner in dsnu ueber die Netiquette.

From:	Peter Niessen
Subject:	Re: Null hoch Null...
Date:	Tue, 21 Sep 2004 12:21:57 +0200

Am Tue, 21 Sep 2004 12:00:28 +0200 schrieb Dietmar Schneider:

> Hallo,
>
> ich überlege gerade, wieso die Setzung Null hoch Null = 1 sinnvoll bzw.
> inwieweit sie verträglich ist.
>
> Letztes ist sie, wenn man a^0=1 für beliebige Basen a erklären will;
> unverträglich ist sie aber mit der Exponentialdarstellung, nach der für jede
> Potenz
>
> a^b=exp(b ln a)
>
> gilt.

Beide Varianten machen Sinn, wobei meistens 0^0=1 gesetzt wird.

> Wie sollte man damit im Schulunterricht umgehen?

Keine Ahnung.
Das hängt ja stark vom Wissensstand der Schüler ab.
Im Zweifel per Ordre de Mufti :-))

Mit freundlichen Grüßen
Peter Nießen

From:	Helmut Richter
Subject:	Re: Null hoch Null...
Date:	21 Sep 2004 10:35:12 GMT

Peter Niessen:

> Beide Varianten machen Sinn, wobei meistens 0^0=1 gesetzt wird.

Jede andere Setzung provoziert später Sonderfälle, etwa beim
Binomischen Satz oder bei Potenzreihen.

>> Wie sollte man damit im Schulunterricht umgehen?

Die Schüler kennen vermutlich die Potenzen zunächst für ganzzahlige
Basen und ganzzahlige oder sogar nur natürliche Exponenten, also nicht
irgendwie über Logarithmen definiert. In diesem Bereich, wo es keine
Grenzwertbetrachtungen irgendwelcher Art gibt, ist aber 0^0=1
unmittelbar einzusehen:

n^0 ist 1, weil es 0 Faktoren sind und deswegen das neutrale
Element der Multiplikation genommen werden muss, damit
n^(i+1) = n·n^i auch für i=0 noch gilt.

0^n für n>0 ist 0, weil einer der Faktoren 0 ist; das ist aber kein
Argument für 0^0.

Helmut Richter

From:	B. Lachner
Subject:	Re: Null hoch Null...
Date:	Tue, 21 Sep 2004 16:58:31 +0200

Helmut Richter wrote:

> Peter Niessen:
>
>> Beide Varianten machen Sinn, wobei meistens 0^0=1 gesetzt wird.
>
> Jede andere Setzung provoziert später Sonderfälle, etwa beim
> Binomischen Satz oder bei Potenzreihen.
>
>>> Wie sollte man damit im Schulunterricht umgehen?
>
> Die Schüler kennen vermutlich die Potenzen zunächst für ganzzahlige
> Basen und ganzzahlige oder sogar nur natürliche Exponenten, also nicht
> irgendwie über Logarithmen definiert. In diesem Bereich, wo es keine
> Grenzwertbetrachtungen irgendwelcher Art gibt, ist aber 0^0=1
> unmittelbar einzusehen:
>

Hallo,

ich bin der Meinung, dass 0^0 nicht definiert ist. Bei Grenzwerten von
Funktionen kann man mit der L'Hospital-Regel womöglich was daraus machen.

Aber ...
> n^0 ist 1, weil es 0 Faktoren sind und deswegen das neutrale
> Element der Multiplikation genommen werden muss, damit
> n^(i+1) = n·n^i auch für i=0 noch gilt.
Richtig ... man kann es auch darüber beweisen, das n^a : n^(-a) = n ^0 ist.

> 0^n für n>0 ist 0, weil einer der Faktoren 0 ist;
Sehe ich auch so ...

> das ist aber kein
> Argument für 0^0.
Dann müsste mein obiger "Beweis" für n^0 = 1 auch hier gelten:
0^a : 0^(-a) = 1 ... und das kann nicht sein, denn durch Null darf man nicht
teilen!

Birgit Lachner.

From:	Juergen Ilse
Subject:	Re: Null hoch Null...
Date:	21 Sep 2004 15:23:02 GMT

Hallo,

B. Lachner wrote:
> Helmut Richter wrote:
>> Peter Niessen:
>> Die Schüler kennen vermutlich die Potenzen zunächst für ganzzahlige
>> Basen und ganzzahlige oder sogar nur natürliche Exponenten, also nicht
>> irgendwie über Logarithmen definiert. In diesem Bereich, wo es keine
>> Grenzwertbetrachtungen irgendwelcher Art gibt, ist aber 0^0=1
>> unmittelbar einzusehen:
> ich bin der Meinung, dass 0^0 nicht definiert ist. Bei Grenzwerten von
> Funktionen kann man mit der L'Hospital-Regel womöglich was daraus machen.

??? Man definiert mehr oder weniger willkuerlich 0^0 zu 1, weil diese
Definition zweckmaessig ist, wie Peter bereits erlaeutert hat.

> Aber ...
>> n^0 ist 1, weil es 0 Faktoren sind und deswegen das neutrale
>> Element der Multiplikation genommen werden muss, damit
>> n^(i+1) = n·n^i auch für i=0 noch gilt.
> Richtig ... man kann es auch darüber beweisen, das n^a : n^(-a) = n ^0 ist.

Damit das stimmt, musst du entweder a=0 setzen oder dein ":" durch ein "*"
ersetzen ... (n^a)/(n^(-a)) ergibt ansonsten n^(a*a). Du solltest dir evt.
die Rechenregeln fuer Potenzen noch einmal naeher ansehen ...

> Dann müsste mein obiger "Beweis" für n^0 = 1 auch hier gelten:
> 0^a : 0^(-a) = 1 ... und das kann nicht sein, denn durch Null darf man nicht
> teilen!

.... und selbst wenn dort eine Division statt einer Multiplikation richtig
waere (was sie nicht ist), wuerdest du noch immer nicht durch 0 sondern
bestenfalls durch 0^0 teilen, was ja nach unserer Definition 1 sein sollte ...
Die (zugegebenermassen relativ willkuerliche) Festlegung 0^0 sei 1 hat
sich schlicht als zweckmaessig erwiesen, weil man dadurch einen ganzen
Haufen an "Sonderregeln" einspart. Aus diesem Grund hat man diese Fest-
legung getroffen.

Tschuess,
Juergen Ilse (juergen@usenet-verwaltung.de)
--
Merke: Die N. ist eine FAQ zur Frage: "Warum nennen mich alle PLONK?"

Oliver Gassner in dsnu ueber die Netiquette.

From:	Manuel_Hölß
Subject:	Re: Null hoch Null...
Date:	Wed, 13 Oct 2004 01:19:11 +0200

Juergen Ilse wrote:
> ersetzen ... (n^a)/(n^(-a)) ergibt ansonsten n^(a*a). Du solltest dir evt.
> die Rechenregeln fuer Potenzen noch einmal naeher ansehen ...
>
*LOL*
Du aber auch! Ich bin für
(n^a)/(n^(-a)) = (n^a)*(n^a) = n^(a+a) = n^(2a)

Einverstanden?

Grüße.

From:	Juergen Ilse
Subject:	Re: Null hoch Null...
Date:	13 Oct 2004 18:08:47 GMT

Hallo,

Manuel Hölß wrote:
> Juergen Ilse wrote:
>> ersetzen ... (n^a)/(n^(-a)) ergibt ansonsten n^(a*a). Du solltest dir evt.
>> die Rechenregeln fuer Potenzen noch einmal naeher ansehen ...
>>
> *LOL*
> Du aber auch! Ich bin für
> (n^a)/(n^(-a)) = (n^a)*(n^a) = n^(a+a) = n^(2a)

> Einverstanden?

Unbemerkt gebliebener Fipptehler auf der Laptop-Tastatur (dass auch
'*' und '+' auf der gleichen Taste liegen muessen, nur durch
unterschieden ...).

Tschuess,
Juergen Ilse (juergen@usenet-verwaltung.de)
--
Merke: Die N. ist eine FAQ zur Frage: "Warum nennen mich alle PLONK?"

Oliver Gassner in dsnu ueber die Netiquette.

From:	Christian Kortes
Subject:	Re: Null hoch Null...
Date:	21 Sep 2004 15:05:17 GMT

B. Lachner wrote:
> ich bin der Meinung, dass 0^0 nicht definiert ist.

Definition: 0^0 = 1.

So, jetzt ist es definiert!

"Ist 0^0 definiert?"
http://www.informatik.uni-oldenburg.de/~tjark/dsm/html/node17.html

From:	Helmut Richter
Subject:	Re: Null hoch Null...
Date:	21 Sep 2004 15:50:50 GMT

B. Lachner:

> Helmut Richter wrote:

>> n^0 ist 1, weil es 0 Faktoren sind und deswegen das neutrale
>> Element der Multiplikation genommen werden muss, damit
>> n^(i+1) = n·n^i auch für i=0 noch gilt.

> Richtig ... man kann es auch darüber beweisen, das n^a : n^(-a) = n ^0 ist.

>> 0^n für n>0 ist 0, weil einer der Faktoren 0 ist;

> Sehe ich auch so ...

>> das ist aber kein
>> Argument für 0^0.

> Dann müsste mein obiger "Beweis" für n^0 = 1 auch hier gelten:
> 0^a : 0^(-a) = 1 ... und das kann nicht sein, denn durch Null darf man nicht
> teilen!

Ich habe den einwand so oder ähnlich erwartet. Also ein wenig
ausführlicher:

Es ist sowieso kein Beweis, weil man Definitionen nicht beweisen kann,
sondern allenfalls eine Begründung, warum die Definition 0^0 = 1 sich
besser in die Definition für x^y für positive natürliche a und y
einfügt als alle anderen Vervollständigungen der Definition.

Wäre das Argument gewesen: »Damit n^(i+1) = n·n^i auch für i=0 noch
gilt, ist zwingend n^0 = 1 für alle n einschließlich der Null«, so
wäre es falsch, weil es eben für die Null so nicht geht. Aber das
Argument war »Das Produkt aller Elemente der leeren Menge sollte als 1
definiert werden« und das erscheint sinnvoll, egal, ob die Menge leer
ist, weil die 0, die 1 oder die 17 nicht da ist.

Das Argument »ein Faktor ist Null« ist dagegen wirklich sinnlos, wenn
kein einziger Faktor da ist.

Helmut Richter