|
|
 | | From: | Rafał_Kucharski | | Subject: | Twierdzenie Ulama | | Date: | Sun, 23 Jan 2005 13:58:35 +0100 |
|
|
 | Wprowadzenie:
Opublikowane w 1939 roku twierdzenie Ulama mówi, że miary skończone nie
dają się równo rozsmarować na przestrzeniach niezwartych. Dokładniej:
Twierdzenie (Ulam). Jeśli v jest miarą skończoną określoną na
podzbiorach borelowskich ośrodkowej i zupełnej przestrzeni metrycznej X,
to dla każdego e>0 istnieje taki zwarty zbiór K \subset X, że v(X\K)< e.
Przestrzeń metryczną, która jest ośrodkowa i zupełna nazywamy polską,
a miary spełniające tezę powyższego twierdzenia (ostatnia linijka)
nazywamy ścisłymi - stąd twierdzenie Ulama można wypowiedzieć szybciej:
Każda skończona miara borelowska na przestrzeni polskiej jest ścisła.
Założenia w tym twierdzeniu są ważne i to podwójnie :) - to znaczy widzę
jak korzysta się z nich w dowodzie, oraz znalazłem wzmiankę bez nich
twierdzenie nie jest prawdziwe.
Pytanie:
Czy ktoś zna / potrafi wymyślić / wie gdzie można znaleźć przykład na
to, że bez ośrodkowości / zupełności teza twierdzenia Ulama nie jest
prawdziwa?
--
Pozdrawiam. Rafał Kucharski
rafalkucharski małpa wp kropka pl
|
|
| | From: | Mateusz Kwasnicki | | Subject: | Re: Twierdzenie Ulama | | Date: | Sun, 23 Jan 2005 23:01:12 +0100 |
|
|
| Rafał Kucharski wrote:
> Wprowadzenie:
>
> Opublikowane w 1939 roku twierdzenie Ulama mówi, że miary skończone nie
> dają się równo rozsmarować na przestrzeniach niezwartych. Dokładniej:
[...]
> Każda skończona miara borelowska na przestrzeni polskiej jest ścisła.
[...]
> Pytanie:
>
> Czy ktoś zna / potrafi wymyślić / wie gdzie można znaleźć przykład na
> to, że bez ośrodkowości / zupełności teza twierdzenia Ulama nie jest
> prawdziwa?
Bez osrodkowosci: Wez zbior nieprzeliczalny (np. R) z metryka dyskretna.
Jest to przestrzen nieosrodkowa, zupelna. Zbiorami zwartymi sa zbiory
skonczone. Zbiory borelowskie to zbiory przeliczalne i te o dopelnieniu
przeliczalnym (nazwijmy je ,,koprzeliczalnymi'').
Niech miara m przyjmuje wartosc 0 na zbiorach przeliczalnych, 1 na
zbiorach koprzeliczalnych. Miara m nie jest scisla.
Bez zupelnosci: Wezmy niemierzalny podzbior A odcinka [0, 1] pelnej
miary zewnetrznej Lebesgue'a (to zalozenie poczynione jest tylko dla
wygody) z metryka euklidesowa i sigma-cialem zbiorow borelowskich (ktore
pokrywa sie z sigma-cialem przeciec zbiorow borelowskich na [0, 1] i
zbioru A ). Na tej przestrzeni mozna okreslic obciecie miary Lebesgue'a
jako m(E \cap A) := M(E) , gdzie E -- borelowski na [0, 1] , M --
miara Lebesgue'a. Sprawdzenie, ze jest to miara, jest niezbyt moze
trudnym, ale i niebanalnym cwiczeniem.
Zbior A nie da sie dobrze wypelnic zbiorami zwartymi, wiec teza tw.
Ulama jest falszywa. Z drugiej strony A jest przestrzenia metryczna
osrodkowa.
Mam nadzieje, ze sie nie pomylilem. Dziekuje za ciekawe pytanie!
--
Pozdrawiam,
Mateusz Kwasnicki
|
|
| | From: | Marcin Kysiak | | Subject: | Re: Twierdzenie Ulama | | Date: | Sun, 23 Jan 2005 23:18:39 +0100 |
|
|
| Mateusz Kwasnicki wrote:
> Bez osrodkowosci: Wez zbior nieprzeliczalny (np. R) z metryka
> dyskretna. Jest to przestrzen nieosrodkowa, zupelna. Zbiorami
> zwartymi sa zbiory skonczone. Zbiory borelowskie to zbiory
> przeliczalne i te o dopelnieniu przeliczalnym (nazwijmy je
> ,,koprzeliczalnymi'').
Bynajmniej! Przecież w metryce dyskretnej każdy zbiór jest otwarty, a co
za tym idzie, borelowski.
Pozdrawiam
Marcin
--
Marcin Kysiak
email: http://cerbermail.com/?59Uupn0U7k
"Now my love is richer than rich
'cause I studied mathematics" - Deep Purple, "Bananas"
|
|
| | From: | Michał Wasiak | | Subject: | Re: Twierdzenie Ulama | | Date: | Sun, 23 Jan 2005 22:19:26 +0000 (UTC) |
|
|
| On Sun, 23 Jan 2005 23:01:12 +0100, Mateusz Kwasnicki wrote:
>
> Bez osrodkowosci: Wez zbior nieprzeliczalny (np. R) z metryka dyskretna.
> Jest to przestrzen nieosrodkowa, zupelna. Zbiorami zwartymi sa zbiory
> skonczone. Zbiory borelowskie to zbiory przeliczalne i te o dopelnieniu
> przeliczalnym (nazwijmy je ,,koprzeliczalnymi'').
No chyba nie. Każdy jest borelowski.
--
Michał Wasiak
|
|
|
